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Rentenrechnung

Renten sind regelmäßig wiederkehrende Zahlungen, z.B. Mieten, Gehalt, Versicherungsprämien, Umsätze usw. Im Folgenden betrachten wir nachschüssige (alle Zahlungen erfolgen ausschließlich am Jahresende) und vorschüssige (alle Zahlungen erfolgen ausschließlich am Jahresanfang) Renten.

Nachschüssige Zahlungen:

Berechnung des Rentenendwert nach n-Jahren:
Zahlt man alle Rentenzahlungen auf ein fest verzinsliches Konto ein, sammelt sich bis zum Zeitpunkt der letzten Rentenzahlung ein Betrag an, den man als Rentenendwert bezeichnet.

Berechnung des Rentenendwerts, wenn ein Anfangskapital vorhanden ist:
Wird ein bestimmter Betrag zu Beginn der Rentenzahlungen angelegt, ist dieses Kapital zusammen mit den Zinseszinsen bei der Berechnung des Rentenendwerts zu berücksichtigen.

Eine ähnliche Formel gilt, wenn keine weiteren Einzahlungen auf das Anfangskapital stattfinden und stattdessen jährliche Rentenauszahlungen über einen Zeitraum von n-Jahren erfolgen :

Berechnung des Barwerts:
Der Rentenbarwert ist der auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinste Rentenendwert. Er kann als der Betrag angesehen werden, den man auf ein Konto einzahlen muss, um in den folgenden Jahren bestimmte Beträge entnehmen zu können. Dabei muss die Auszahlung der letzten Rente auf einen Kontostand von Null führen.

Ewige Rente:
Bei der ewigen Rente werden nur die Zinsen eines festgelegten Kapitals verbraucht. Das Kapital selbst bleibt unangetastet. Theoretisch kann die Rente somit unendlich lange bezogen werden.

Vorschüssige Zahlungen:

Berechnung des Rentenendwert nach n-Jahren:

Berechnung des Rentenendwerts, wenn ein Anfangskapital vorhanden ist:

Bei jährlichen Einzahlungen auf das Anfangskapital:

Bei jährlichen Auszahlungen:

Berechnung des Barwerts:

Ewige Rente:

Übungsaufgaben:

Aufgabe 1:
Herr Fröhlich zahlt 20 Jahre lang am Ende jeden Jahres 3.500 EUR auf ein Sparkonto. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 20. Jahres bei einer jährlichen Verzinsung von 6,25%?

Lösung:

Aufgabe 2:
Frau Sparsam zahlt 15 Jahre lang am Anfang jeden Jahres 4.800 EUR auf ein Sonderkonto ein. Die jährliche Verzinsung beträgt 7%. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 15. Jahres?

Lösung:

Aufgabe 3:
Wie viel Jahre lang muss man am Anfang jeden Jahres 4.250 EUR auf ein Sparkonto einzahlen, bis am Ende des Jahres der letzten Einzahlung 100.000 EUR Guthaben überschritten werden; Zinssatz 5,5%?

Lösung:

Aufgabe 4:
Herr Kugler zahlt 10 Jahre lang am Ende jeden Jahres 3.800 EUR auf ein Sparkonto. Bis zum Ende des 4. Jahres beträgt der Zinssatz 6%, ab Beginn des 5. Jahres 6,5%. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 10. Jahres?

Lösung:

Aufgabe 5:
Herr Liebig will einmalig so viel Geld einzahlen, dass er davon 15 Jahre lang am Anfang jeden Jahres eine Rente von 8.000 EUR beziehen kann. Welchen Betrag muss er bei einem Zinssatz von 6,75% anlegen?

Lösung:

Aufgabe 6:
Aus einer Erbschaft soll 20 Jahre lang eine nachschüssige Rente von 6.000 EUR gezahlt werden. Der Erbe wünscht die sofortige Auszahlung seines Rentenanspruchs in einem Betrag. Wie viel Euro sind auszuzahlen, wenn mit 5,5% Jahreszinsen gerechnet wird?

Lösung:

Aufgabe 7:
Frau Schöne zahlt am Jahresbeginn 50.000 EUR ein. Sie will davon am Ende jeden Jahres eine Rente beziehen. Die erste Auszahlung soll am Ende des ersten Jahres erfolgen. Wie viel Euro beträgt die Rente bei 6% Jahreszinsen und einer Laufzeit von 10 Jahren?

Lösung:

Aufgabe 8:
Herr Martin zahlt am Anfang eines Jahres 20.000 EUR auf ein Konto ein und leistet in den folgenden 5 Jahren am Jahresende jeweils eine Sonderzahlung von 8.000 EUR. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 5. Jahres bei 3% Verzinsung?

Lösung:

Aufgabe 9:
Ein Barvermögen von 30.000 EUR wird zu 6,5% verzinst. Es sollen am Anfang eines jeden Jahres 3.000 EUR abgehoben werden. Auf wieviel EUR sinkt das Vermögen bis zum Ende des 14. Jahres?

Lösung:

Aufgabe 10:
Welche ewige Jahresrente kann Frau Krug aus 191.700 EUR Kapital bei einem Zinssatz von 6,5% beziehen, wenn die Rente vorschüssig gezahlt werden soll?

Lösung:

Aufgabe 11:
Eine vorschüssige Rente von 3.600 EUR pro Jahr läuft bei einer jährlichen Verzinsung von 5,5% 12 Jahre lang. Wie hoch ist der Endwert der Rente?

Lösung:

Aufgabe 12:
Eine nachschüssige Jahresrente von 6.000 EUR hat eine Laufzeit von 10 Jahren. Die jährliche Verzinsung beträgt 4,5%. Wie hoch ist der Barwert der Rente?

Lösung:

Aufgabe 13:
Ein Vater will für das Studium seiner Tochter in 6 Jahren 10.000 EUR zur Verfügung haben. Welchen Betrag muss er am Ende eines jeden Jahres auf ein Sparkonto einzahlen, wenn die Bank das Guthaben jährlich mit 5% verzinst?

Lösung:

Aufgabe 14:
Die Inhaberin einer Boutique hat am Ende eines Jahres auf ihrem Sparkonto ein Guthaben von 12.000 Euro. Vom Beginn des nächsten Jahres an zahlt sie über 8 Jahre jeweils am Jahresanfang 12.000 Euro dazu. Das Guthaben wird jährlich mit 5% verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des letzten Einzahlungsjahres?

Lösung:

Aufgabe 15:
Eine vorschüssige Jahresrente von 5.500 Euro hat bei einer jährlichen Verzinsung von 6% einen Barwert von 53.417 Euro. Wie lange wird die Rente ausbezahlt?

Lösung:

Aufgabe 16:
Aus einem Stiftungskapital von 630.000 Euro erhält ein Institut am Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von 30.000 Euro. Mit welchem Zinssatz wird das Kapital jährlich verzinst?

Lösung:

Aufgabe 17:
Wie hoch ist der Barwert einer nachschüssigen ewigen Rente von jährlich 6.000 EUR bei 6% p.a. ?

Lösung:

Aufgabe 18:
Auf einem Sparkonto befindet sich am Anfang eines Jahres ein Guthaben von 6.500 EUR. Die jährliche Verzinsung beträgt 4,5%. Auf wieviel Euro ist das Guthaben nach 5 Jahren gesunken, wenn während dieser Zeit jeweils am Jahresende 1.000 EUR entnommen werden?

Lösung:


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