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Lösung biquadratischer Gleichungen
Die Gleichung  ist eine
Gleichung vierten Grades.
Die Besonderheit hierbei: Die Variable x hat nur geradzahlige Exponenten.
Der Vorteil dieser Besonderheit: Sie kann ohne die relativ aufwendige Polynomdivision
gelöst werden.
Gleichungen dieser Art werden biquadratische Gleichungen genannt. Die allgemeine Formel lautet:
Im Vergleich zur normalen quadratischen Gleichung hat x in der biquadratischen Gleichung
jeweils doppelt so große Exponenten. Daher der Name biquadratisch!
| Der Trick ist nun, dass |
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durch u ersetzt wird (Substitution). |
Dadurch erhalten wir eine normale quadratische Gleichung,
die wir nun auf herkömmliche Art lösen können.
Da aber ursprünglich die Lösung für x bestimmt werden sollte, ist die Aufgabe
noch nicht gelöst.
Um die eigentliche Lösung zu finden, muss man daran denken,
dass u für eingesetzt wurde.
Dieses Einsetzen wird nun wieder rückgängig gemacht (Re-Substitution):
Die Aufgabe hat also insgesamt vier Lösungen L = { 5; -5; 1; -1 }.
Diese Methode der Ersetzung bzw. Substitution kann und sollte immer
dann angewendet werden, wenn alle Exponenten von x einen gemeinsamen Teiler >= 2 haben,
z.B. wenn in der Gleichung nur geradzahlige Exponenten vorkommen.
Übungsaufgabe 1:
Übungsaufgabe 2:
Übungsaufgabe 3:
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