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Nullstellenberechnung - Polynomdivision

Mit Hilfe der Polynomdivision können die Nullstellen auf recht einfache Weise (vorausgesetzt man hat es verstanden ;-) ermittelt werden.

Es gilt:
Alle Koeffizienten sind ganze Zahlen. Gibt es eine Nullstelle, so ist sie der Teiler des absoluten Gliedes. Um die Polynomdivision durchführen zu können, müssen wir eine Nullstelle kennen.

Schritt 1 - Teiler des absoluten Gliedes bestimmen:
Die Teiler des absoluten Gliedes, d.h. die Zahlen durch die -6 ohne Rest geteilt werden kann, sind -1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 4, 6.

Schritt 2 - Welcher Teiler ist eine Nullstelle?:

Damit haben wir herausgefunden, dass   eine Nullstelle unserer Funktion ist.

Schritt 3 - Durchführung der Polynomdivision:
Ist eine Nullstelle von f, dann lässt sich das Polynom durch den Linearfaktor ohne Rest dividieren.

In unserem Falle müssen wir die Gleichung also durch (x - 1) teilen. Hätten wir stattdessen herausgefunden, dass eine Nullstelle -2 lautet, dann müsste unser Ausdruck (x + 2) lauten.

Schritt 4 - Der Sinn des Ganzen:
Durch die Polynomdivision haben wir nun eine quadratischer Gleichung erhalten, mit der wir die restlichen Nullstellen bestimmen können:

Anwendung des Satzes von Vieta:

Damit ergeben sich als Lösung für die ganzrationale Funktion folgende Nullstellen:

Beispielaufgabe 1:

Das Durchprobieren mit den ganzzahl. Teilern von (-12) führt auf die 1. Nullstelle    .

Gleichung in Produktform:

Anwendung des Satzes von Vieta:

Damit ergeben sich als Lösung für die ganzrationale Funktion folgende Nullstellen:

Beispielaufgabe 2:

Beispielaufgabe 3:

Beispielaufgabe 4:

Ausklammern:

Durch Anwendung des Satzes vom Nullprodukt kennen wir bereits eine Nullstelle   .

Die beiden fehlenden Nullstellen berechnen wir nun mit Hilfe des 2. Faktors:

Damit haben wir alle Schnittstellen der Gleichung bestimmt:   .


Kommentare

Durchschnittliche Leserbewertung: 
gut, rom412, 20.07.2009
gut erklärt, aber was hat das mit der bank zu tun???
..., schlumpfine85, 14.10.2004
Also, ich finde du hast das alles noch ziemlich schwierig erklärt. allerdings bin ich der Meinung, das es auch recht schwer ist die polynomdivision zu erklären. Wenn man sie kann ist sie zwar recht leicht, aber es dauert bis man das Prinzip verstanden hat. Von daher, hast du gut gemacht. :)

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